Родился в Москве в семье военнослужащего. Отец Иван Павлович Лавейкин — Герой Советского Союза, генерал-майор авиации.
Учился в московской спецшколе № 57 (ныне № 1212) с углублённым изучением немецкого языка, которую окончил в 1968 году. После школы поступил в Московское высшее техническое училище имени Н. Э. Баумана на машиностроительный факультет по специальности «Производство космических аппаратов», которое закончил в 1974 году. Во время учёбы занимался парашютным спортом при 3-м московском городском аэроклубе.
После окончания МВТУ им. Н. Э. Баумана работал в Научно-производственном объединении «Энергия», где принимал участие в создании и испытании космической техники.
В 1978 году принят в отряд космонавтов, где прошёл полный курс общекосмической подготовки и курс подготовки к космическим полётам на космических кораблях «Союз ТМ», орбитальных станциях «Мир» и «Салют», многоразовой космической системе «Буран».
В 1981 году прошёл лётную подготовку по программе «Буран» в Курском учебном авиационном центре, где ему была присвоена квалификация «Летчик истребительной авиации».
Космический полёт совершил 6 февраля 1987 года к орбитальной станции «Мир» в качестве бортинженера корабля «Союз ТМ-2» (командиром корабля был Юрий Романенко). На станции проработал до 30 июля 1987 года, после чего вернулся на Землю с советско-сирийским экипажем экспедиции посещения. Общая длительность полёта составила 174 суток 3 часа 25 минут и 56 секунд. Во время пребывания на станции Александр Лавейкин три раза выходил в открытый космос, где провёл в общей сложности 8 часов 48 минут.